Zu Beginn des Mathe-Studiums haben die meisten Menschen Schwierigkeiten. Ich hatte jedenfalls welche.

In der Zwischenzeit habe ich viele Studierende durch das Studium geführt. Daher schreibe ich jetzt ein Buch, das den Studierenden helfen soll, die Schwierigkeiten beim Übergang von der Schule zur Universität zu bewältigen: “100 Mathe Basics” im Vieweg-Verlag. Motto: “Es sagt nicht alles ist easy”, sondern: “du kannst die Schwierigkeiten packen!”. Es wird nicht lange geredet: Auf jeder Seite steht ein Mathe-Basic im Mittelpunkt, z.B. eine Formel. Mit Pfeilen und “Sprechblasen” wird auf die einzelnen Bestandteile der Formel hingewiesen und diese so direkt wie möglich erklärt.

Das Buch hat den Zweck, den Studierenden praktisch zu nützen. Deshalb ist es sinnvoll, dass sie unmittelbar einbezogen sind - mithilfe dieses Blogs. Seit 12. Oktober 2007 stelle ich daher Texte, Inhalte und Designs zur Diskussion. Die abgegebenen Kommentare fließen in die Gestaltung des Buches ein, der beste Wochen-Kommentar gewinnt ein von mir signiertes Buch.

Es freut sich auf Ihre Kommentare

Albrecht Beutelspacher

Am 14. Juli 2009 fand in Bremen die Eröffnung der 50. „International Mathematical Olympiad (IMO)“ statt. Es ist nicht nur eine Jubiläums-, sondern auch eine Rekord-IMO: Teams aus 104 Ländern mit insgesamt 573 Teilnehmern! Jedes Land darf bis zu sechs Teilnehmer stellen, die an zwei Tagen in jeweils einer 4,5-stündigen Klausur die besten unter sich aufmachen. Die Aufgaben haben es in sich. Ich zweifle daran, dass auch nur ein nennenswerter Prozentsatz der „normalen“ Mathematikstudenten diese lösen könnten. Ich hätte jedenfalls keine Chance, eine Medaille zu erringen! Ich hatte die Ehre, die Eröffnungsveranstaltung moderieren zu dürfen. Die erste Stunde bestand im Wesentlichen aus einer Videobotschaft der Kanzlerin und Grußworten. Danach wurden die Mannschaften aufgerufen, auf die Bühne zu kommen. Sie kamen jeweils mit der Nationalflagge, manche speziell gekleidet, manche mit einer Grußbotschaft, manche mit Papierfliegern o.ä., die sie in das Publikum warfen und so weiter. Der eindrücklichste Moment war folgender: Seit Jahren versuchen die Teams auch Mädchen so zu fördern, dass sie an der IMO teilnehmen können. Die meisten Teams haben ein bis zwei Mädchen in ihren Reihen. Als nach ungefähr einer Dreiviertelstunde aber die Vereinigten arabischen Emirate aufgerufen wurden, kamen sechs (!) junge Damen auf die Bühne, alle in Schwarz und mit Kopftuch. Das heißt, das war ein rein weibliches Team. Zu Recht erhielt diese Gruppe den größten Applaus!

Das Jahr der Mathematik ist eines der erfolgreichsten Wissenschaftsjahre. Das spüre ich am eigenen Leib. Ich dachte, am Anfang ist viel los: Vorträge, Interviews und so weiter. Das war richtig. Aber am Ende ist noch viel mehr los. Ich habe jetzt jeden (!) Tag einen Vortrag, eine Präsentation. Dazwischen Interviews, Radio- und Zeitungsbeiträge usw. Wie kann man das - neben der “normalen” Arbeit überhaupt bewältigen? Ich glaube, es liegt an zwei Aspekten: Zum einen vertrete ich ein gutes Produkt, ein Produkt, die Mathematik, von dem ich überzeugt bin. Zum zweiten ist es - und das ist die eigentliche Üerraschung des Jahrs der Mathematik - kein kontroverses Produkt. Überall trifft man auf Zustimmung, nach den Vorträgen sehe ich strahlende Gesichter; kurz: Mathe macht glücklich!

Gestern Abend wurde in Berlin das Jahr der Mathematik eindrucksvoll eröffnet. In der Hauptstadt-Repräsentanz der Deutschen Telekom AG hatten sich viele Hundert Mathematikerinnen und Mathematiker versammelt, um die Rede von Bundes-Bildungsministerin Dr. Annette Schavan zu hören, die damit das neunte Wissenschaftsjahr offiziell eröffnete. Anschließend wurden Professor G. Wefer (Wissenschaft im Dialog), Dr. Klaus Kinkel (Deutsche Telekom Stiftung) und Prof. Günter M. Ziegler (Deutsche Mathematiker Vereinigung) interviewt, und danach hielt Prof. Peitgen einen faszinierenden Vortrag.

Besonders schön fand ich, dass auch ganz junge Mathematikerinnen und Mathematiker zu Wort kamen: Zum einen Medaillengewinner und Preisträger der Mathematik-Olympiade und des Kanguru-Wettebewerbs - aber auch Germany’s Next Topmodel Barbara Meier, die an der FH Regensburg Mathematik studiert!

Für mich persönlich hat das Jahr der Mathematik schon vor vielen Wochen begonnen. In der Tat habe ich in der letzten Zeit praktisch täglich Interviews gegeben (gestern mindestens sechs, irgendwann habe ich den Überblick verloren), Kolumnen verfasst, Veranstaltungen geplant. Deshalb ist auch dieser Blog etwas zu kurz gekommen. Aber ich gelobe Besserung!

Ich glaube, wir Mathematiker haben Vorurteile gegenüber der Gesellschaft. Natürlich kennt jeder Mathematiker einen Landrat, einen Oberbürgermeister, einen Minister, der bei passender Gelegenheit bekennt “in Mathe war ich immer schlecht” und dafür auch noch Beifall bekommt. Selbstverständlich kennt jeder Mathematiker die Situation, dass er bei der Darstellung dessen, was ihn tagtäglich beschäftigt, bei seinen Zuhörern schnell an die Grenzen der Toleranz stößt. Kurz: Wir Mathematiker glauben, dass uns niemand mag.

Meine Erfahrung der letzten Jahre sagt: Das stimmt so nicht. Im Gegenteil: Es gibt bei sehr vielen Menschen eine große Offenheit, ja geradezu ein Bedürfnis, etwas von den Geheimnissen der Mathematik zu erfahren. Journalisten sind geradezu scharf darauf. Es ist aber auch klar: Jemand, der Abitur macht, hat eine Vorstellung von Physik, von Germanistik, von Politikwissenschaft, ja sogar von Fächern wie Jura oder BWL, die gar kein Schulfach sind. Nur von Mathematik stellt sich kein Bild ein. Bestenfalls die Erkenntnis: Das kann doch nicht alles gewesen sein!

Einem fruchtbaren Dialog zwischen Mathematik und Gesellschaft steht nichts entgegen - außer liebgewordenen Vorurteilen. Mir fallen drei Punkte ein, die bei einem solchen Dialog von Seiten der Mathematiker zu bedenken sind.

1. Der Anfang. Wir müssen die Menschen auf Gebieten “abholen”, auf denen sie sich zu Hause fühlen. Zum Beispiel auf dem Gebiet der Kunst. Oder über Denksportaufgaben, z.B. Sudokus. Oder durch Kulturgeschichte. Oder durch Experimente. Oder durch die Anwendungen der Mathematik. Oder … Oder … Oder…

2. Das Ziel. Wir Mathematiker sollten uns keine Illusionen machen. Kaum einer will Mathematiker werden, und nur ganz wenige wollen Mathematik im Sinne von Definitinen und Beweisen machen. Ich bin aber überzeugt: Wenn sich die Menschen auch nur einen Schritt in die Mathematik begeben, ist das (für beide Seiten) ein beglückendes Erlebnis. Wenn jemand erfährt, dass man durch scharfes Nachdenken ein Problem lösen kann, dann hat sich sein Leben verändert.

3. Kurzfristig vs. langfristig. Wir dürfen keine kurzfristigen messbaren Erfolge erwarten. Wenn jemand einen Artikel über griechische Mathematik liest, kann der Erfolg nicht daran gemessen werden, ob der Leser oder die Leserin die formale Definition eines platonischen Körpers sagen kann. Ich bin davon überzeugt, dass es den Menschen nicht primär um “Lernen” geht, sondern darum eine gewisse Zeit Ihres Lebens (eine Stunde, ein halber Tag) mit Wissenschaft zu verbringen. Kann es etwas Hoffnungsvolleres geben?

Der fundamentalste Begriff der Analysis ist der Begriff der Konvergenz einer Folge. Er ist nicht einfach. Das zeigt auch meine Erfahrung aus vielen Prüfungen. Manche können den Begriff nur sehr grob umschreiben, manche können die formale Definition - aber es mangelt an Einsicht. Und viele können es natürlich richtig.

Im Buch stelle ich mir vor, dass man sich der formalen Definition annähert. Und zwar in vielen kleinen Schritten. Bei jedem Schritt wird nicht nur der Zuwachs an Exaktheit erkennbar, sondern vor allem der Zuwachs an Einsicht und Präzision.

Hier ist ein erster Entwurf:

Eine Zahlenfolge konvergiert, wenn sie einen Grenzwert hat.

Wenn man schon wüsste, was ein Grenzwert ist, dann wäre das eine Definition. So ist es bestenfalls ein erster Schritt zum Verständnis.

Eine Zahlenfolge konvergiert, wenn sie sich ihrem Grenzwert immer weiter nähert.

Immmer noch eine ziemlich vage Vorstellung von Konvergenz.

Eine Zahlenfolge konvergiert, wenn sie ihrem Grenzwert beliebig nahe kommt.

Hier ist das Wort “beliebig” entscheidend. Denn “immer näher kommen” könnte auch bedeuten, dass ein fester Abstand nie unterschritten wird.

Eine Folge von Zahlen a_n konvergiert, wenn sie mit wachsendem n ihrem Grenzwert beliebig nahe kommt.

Das “wachsende n” zeigt an, dass nicht die Folge dem Grenzwert beliebig nahe kommt, sondern dass sich die Folgenglieder dem Grenzwert nähern.

Eine Zahlenfolge konvergiert, wenn gilt: Wie klein man auch einen Abstand wählt, irgendwann haben alle Folgenglieder einen kleineren Abstand vom Grenzwert.

Die Vorstellung “beliebig nahe kommen” wird hier präziser gefasst durch Vorgabe eines beliebig kleinen Abstands.

Eine Zahlenfolge konvergiert, wenn gilt: Wie klein man auch immer einen Abstand ε wählt, ab einem gewissen n haben alle Folgenglieder an einen kleineren Abstand als ε vom Grenzwert.

Jetzt wird der Abstand ε benannt.

Eine Folge von Zahlen a_n konvergiert gegen einen Grenzwert a, wenn gilt: Wie klein man auch immer einen Abstand ε wählt, ab einer gewissen Zahl N gilt: |a_n - a| < ε für alle n > N.

Jetzt wird auch präzise gesagt, ab welcher Nummer (nämlich N) der Folgenglieder der vorgegebene Abstand unterschritten wird.

Eine Folge von Zahlen a_n konvergiert gegen einen Grenzwert a, wenn gilt: Für alle ε > 0 gibt es ein N, so dass |a_n - a| < ε für alle n > N gilt.

Das ist die endgültige Definition. Bei dieser kommt auch die Abhängigkeit von ε und N zum Ausdruck: Das N hängt von ε ab und kann nicht unabhängig gewählt werden.

Beachten Sie außerdem, mit welchem genialen Trick man das “beliebig nahe” präzise formulieren kann: “Für alle ε > 0“.

Vielen Dank für die Kommentare. Find ich großartig!
Die Frage nach Übungsaufgaben ist schwierig zu entscheiden. Natürlich hat Jens Recht: Mathematik lernt man im Idealfall durch eigenes Tun. Und auch das ist richtig: Eine Formel anwenden zu können, gehört entscheidend zu ihrem Verständnis.

Ob Übungsaufgaben in dieses Buch gehören, ob sie rein müssen oder vielleicht gar nicht rein gehören, ist aber eine ganz andere Frage. Man könnte ja auch sagen: Übungsaufgaben gibt’s schon jede Menge, und dieses Buch ist “nur” dazu da, die Voraussetzungen zu schaffen, dass Sie Ihre Übungsaufgaben lösen können. (Dabei ist auch zu bedenken, dass Übungsaufgaben auch kein Selbstzweck sind, sondern dazu dienen sollen, Mathematik zu verstehen.)

Aber gerade zu diesem Punkt interessiert mich die Meinung der Studierenden. Vermutlich können wir diesen Punkt aber erst entscheiden, wenn wir gemeinsam ein paar Probeseiten angeschaut und diskutiert haben.

Sicherlich eine der schwierigsten Fragen. Aber bei dieser ist mir die Einschätzung der Studierenden besonders wichtig. Ich habe eine erste Liste zusammengestellt. Diese ist meinem Enpfinden nach stark studiumslastig, d.h. es kommen viele Begriffe vor, die erst während des ersten Semesters eingeführt werden.

Also:Frage an alle: Was fehlt? Was ist überflüssig?

Mengen: Definition, Vereinigung, Durchschnitt, kartesisches Produkt, Teilmengen, Mächtigkeit, Formeln, Potenzmenge, Binomialzahlen, Binomischer Lehrsatz, unendliche Mengen, N, Q, R, C

Zahlen: natürliche Zahlen, Induktion, Primzahlen, Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie, Division mit Rest, rationale Zahlen: Wie rechnet man mit Brüchen? (Kürzen, Erweitern, Addition, Multiplikation)

Relationen: Äquivalenzrelationen, Beispiele mit Zahlen (gerade/ungerade), Satz über Äquivalenzrelationen

Abbildungen: Definition, injektiv, surjektiv, bijektiv, Verknüpfung, inverse Abbildung, Permitationen, n!

Geometrie: Geraden, Ebenen (senkrecht, parallel, elementare Betrachtungen und Sätze ), Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel

Tupel: Definition, Addition, binäres Tupel, Anzahlen

Matrizen: Definition, Adition, Multiplikation, Inverse

Polynome: Definition, Addition, Multiplikation, Nullstellen, Polynomdivision, f = (x - a)g

Gleichungen: Linear, quadratisch, Wurzelgleichungen, Äquivalenzumformungen, Gleichungssysteme, elementare Umformungen, Gauß

Folgen: Addition, Multiplikation, Konvergenz, Cauchy, Beispiele

Reihen: Konvergenz, geometrische Reihe, harmonische R., Konvergenzkriterium (insbes. Majorantenkriterium) , Exponentialreihe, Reihen für pi

Potenzreihen: Definition, Konvergenzradius, exp, sin, cos

Funktionen: stetig, differenzierbar, Ableitung, Maximum, Minimum, Wendepunkt, Extremwertbestimmung,  sin,cos, Periodizität, Exponentialfunktion

Die Idee für die Gestaltung stammt von Gero von Randow, dem famosen Journalisten der ZEIT. Er war in der ersten Phase der Frankfurter Allgemeinen Sonntagszeitung für deren Wissenschaftsteil verantwortlich. Eine Sache, die er dort kreiert hat, war die Wissenschafts-Doppelseite. 

Eines Tages besuchte er mich und sagte: “Üblicherweise sagen wir immer: Mathe ist gar nicht so schlimm, es tut nicht weh, und du brauchst keine Angst zu haben. - Ich finde, wir machen es mal anders. Wir stellen eine richtig schwierige Formel ins Zentrum. Wir schreiben diese dick in die Mitte der Seite. Und dann machen wir drum herum alle möglichen kleinen Texte, die uns die Bestandteile der Formel erklären: Das Summenzeichen, das Unendlichkeitssymbol, das Fakultätszeichen usw. usw.”

Das machten wir, und es wurde nicht nur eine tolle Seite, sondern war auch eine wunderbare Zusammenarbeit.

Auf genau diese Weise soll das Buch funktionieren. Jede Doppelseite hat eine Formel oder ein Symbol im Zentrum und die erklärenden Texte außen herum. Das ist so ähnlich wie wenn ich mich zu einem Studenten oder eine Studentin setze und ihm bzw. ihr auf einem Blatt Papier Mathematik erkläre.

Derzeit sind wir, das heißt der Grafiker Helge Kramer aus Berlin und ich, dabei, die richtige Form zu finden. Sie sehen Sie eine meiner handschriftlichen Vorlagen und das, was Herr Kramer daraus gemacht hat.

Das ist eine wichtige Frage. Manche meinen, dass viele Bücher hauptsächlich wegen ihres Titels gekauft werden. Ich hoffe natürlich, dass dieses Buch - auch - wegen seines Inhalts attraktiv ist.

Dennoch ist der Titel wichtig. Wir haben lange überlegt. Soll der Titel witzig sein? Soll er beruhigend wirken? Am Ende haben wir uns für einen Titel entschieden, der genau sagt, was man in dem Buch findet: 100 Mathe Basics.

Das stimmt (wobei wir die wirkliche Zahl erst in einigen Monaten festlegen können). Das sagt auch, dass es nicht um irgendwelches “nice to have” geht, sondern um unverzichtbare Fakten und Phänomene. Aber die Form des Buches, die durch ihre Direktheit eben auch attraktiv wirkt, sollte auch schon im Titel mit auftreten. Da es sich um die 100 Mathe Basics handelt, die man zum Überleben zu Beginn eines Mathe-Studiums braucht, war dann irgendwann auch der Untertitel klar: Ein survival kit für das erste Semester.